A l’issue de cette UE, les étudiants sauront manipuler des séries absolument convergentes, utiliser les critères standard de convergence, calculer les sommes de séries dérivées de séries classiques (géométrique, exponentielle). Ils maîtriseront le langage des probabilités dans le cas où l’univers est fini ou discret : l’accent sera mis sur les capacités de modélisation offertes par les probabilités et les structures de dépendance. Ils seront sensibilisés aux notions de convergences de suite de variables aléatoires, notamment pour éclairer les lois des grands nombres.
Séries numériques à termes positifs, absolue convergence.
- Manipulation de la notation sommatoire
- Définition et exemples
- Opérations sur les séries, convergence
- Critères de convergence, comparaisons, série-intégrale
- Introduction aux séries entières (sans preuve): calculs de sommes
Probabilités discrètes, variables aléatoires discrètes.
- Rappels du langage des probabilités
- Loi, espérance, variance
Couple de variables aléatoires
- Conditionnement
- Indépendance
- Corrélation.
Convergences
Exemples de convergences (Binomiale/Poisson, Hypergéométrique/ Binomiale), loi multinomiale.
Loi faible et forte de grands nombres (sans preuve)
- Savoir manipuler des sommes (factorisation, changement d’indice, séparation de termes, dérivée discrète)
- Reconnaître une série absolument convergente à l’aide des critères standard
- Identifier les séries dérivées des séries classiques, calculer leur somme
- Identifier les situations de modélisation probabiliste et être capable de définir l’espace probabilisé (fini ou discret) correspondant
- Manier le langage des probabilités (événements, probabilités) et connaître ses propriétés (intersection, réunion)
- Manier le langage des variables aléatoires (loi, espérance, variance)
- Savoir calculer les lois, espérances et variances de variables aléatoire discrètes
- Identifier les situations de dépendance en modélisation
- Effectuer des calculs de probabilités conditionnelles
- Identifier les situations asymptotiques indiquées, savoir interpréter en termes de probabilités
- Savoir utiliser la loi faible des grands nombres, différencier convergence en probabilité et convergence presque sûre.